Bài Tập Có Lời Giải Chương 1

     

Bài viết này onip.vn trình làng đến các bạn đọc định hướng và hạng của ma trận kèm các ví dụ với phân loại những dạng toán từ bỏ cơ bạn dạng đến nâng cấp về hạng của ma trận:

*

1. Tra cứu hạng của ma trận đến trước

Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1\ 2& - 1&3&1&3\ 3&2&0& - 1&2\ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight).$

*

Ví dụ 2: Cho $x,y,z$ là bố nghiệm của phương trình $t^3-2019t+4=0,$ tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c x&y&z\ y&z&x\ z&x&y endarray ight).$

Giải. Theo vi – ét tất cả $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ cùng

Do kia $r(A)le 2.$ mặt khác $D_12^12=xz-y^2Rightarrow yD_12^12=xyz-y^3=-4-y^3=-2019yRightarrow D_12^12=-2019 e 0.$

Vậy $r(A)ge 2Rightarrow r(A)=2.$

Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9\ 0&10&1&10 endarray ight)$ bằng phương thức định thức bao quanh.

Bạn đang xem: Bài tập có lời giải chương 1

Giải. Có $D_12^12 = left| eginarray*20c 1&2\ - 1&3 endarray ight| = 5 e 0;D_123^123 = left| eginarray*20c 1&2&3\ - 1&3&0\ 2&4&1 endarray ight| = - 25 e 0;$

Kiểm tra những định thức cấp cho 4 bảo phủ định thức $D_123^123$ có

$D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9 endarray ight| = 0;D_1235^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 0&10&1&10 endarray ight| = 0.$

Vậy $r(A)=3.$

Ví dụ 10: Tìm hạng của ma trận

Giải.

Ta xét những định thức cung cấp 5 bảo phủ định thức cấp cho 4 trên

Vậy $r(A)=4.$

2. Biện luận hạng của ma trận theo tham số

Ví dụ 1: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1& - 1\ 2&m + 4& - 2& - 1\ 3&m + 6& - 3&m - 3 endarray ight)$có hạng nhỏ tuổi nhất.

*

Ví dụ 2: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c m&2& - 1&3\ 2&m&1&2\ 3&1&2&0 endarray ight)$có hạng bé dại nhất.

*

Ví dụ 3: Tìm $a$ để hạng của ma trận sau nhỏ nhất, cùng với $A = left( eginarray*20c 3&1&4&1\ a&2&3&1\ 3& - 1&1&0\ 3&3&7&2 endarray ight).$

*

Ví dụ 4: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ m&1&2& - 1\ 3&1& - 4&2 endarray ight).$ chứng tỏ rằng với tất cả $m$ thì $r(A)=3.$

Giải. Có $D_123^234 = left| eginarray*20c 2&3&4\ 1&2& - 1\ 1&4&2 endarray ight| = 15 e 0 Rightarrow r(A) = 3,forall m.$

Ví dụ 5: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&1&2\ - 1&2&3&4\ - 1&9&10&m endarray ight).$

*

Ví dụ 6: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&m& - 1&2\ 2& - 1&m&5\ 1&10& - 6&1 endarray ight).$

*

Ví dụ 7: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 2&1&m&3\ - 1&2&1&4\ 4&3&2&1\ - 3&4&1&2 endarray ight).$

Ví dụ 8: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 7 - m& - 12&6\ 10& - 19 - m&10\ 12& - 24&13 - m endarray ight).$

Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận sau

$A = left( eginarray*20c 1&2&...&n - 1&n\ n + 1&n + 2&...&n + n - 1&2n\ ...&...&...&...&...\ n^2 - 2n + 1&n^2 - 2n + 2&...&n^2 - 2n + n - 1&n^2 - n\ n^2 - n + 1&n^2 - n + 2&...&n^2 - n + n - 1&n^2 endarray ight).$

Ví dụ 10: Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1& - 1&2&3\ - 1&1&3& - 1\ 1& - 1&7&m endarray ight)$ bé dại nhất.

Ví dụ 11: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight).$

Giải.

$eginarrayl det (A) = left| eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight| = left| eginarray*20c m + 6&2&2&2\ m + 6&m&2&2\ m + 6&2&m&2\ m + 6&2&2&m endarray ight|(c_4 + c_3 + c_2 + c_1)\ = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 1&m&2&2\ 1&2&m&2\ 1&2&2&m endarray ight| = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 0&m - 2&0&0\ 0&0&m - 2&0\ 0&0&0&m - 2 endarray ight|eginarray*20c - d1 + d_2\ - d_1 + d_3\ - d_1 + d_4 endarray = (m - 2)^3(m + 6). endarray$

Nếu $det (A) e 0Leftrightarrow m otin left 2,-6 ight\Rightarrow r(A)=4;$Nếu $m=2Rightarrow r(A)=1;$Nếu $m=-6Rightarrow r(A)=3$ (bạn đọc tự kiểm tra).

Ví dụ 12: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m&m + 1\ 2&m + 2&2m + 1&2m + 4\ 1&4 - m&m - 1&2m - 4 endarray ight)$ gồm hạng bởi 2.

Xem thêm:
1 Viên Dầu Cá Bao Nhiêu Calo Và Uống Omega 3 Có Mập Không, Nên Uống Vào Thời Gian Nào

*

Ví dụ 13: Tìm số thực $a$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 2&2 - a&4&a^2\ 1&1 - a&2&0\ 3&3 - 2a&8 - a&4 endarray ight)$ tất cả hạng bé nhất.

*

Ví dụ 14. Tìm $m$ nhằm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 3&m&0&3\ m&2&1&2\ 2&1& - 2&2 endarray ight)$ mập nhất.

3. Hạng của ma trận phụ hợp

Định lí. Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n,nge 2$ cùng $A^*$ là ma trận phụ vừa lòng của $A,$ khi đó ta có:

$r(A)=nLeftrightarrow r(A^*)=n;$$r(A)=n-1Leftrightarrow r(A^*)=1;$$r(A)le n-2Leftrightarrow r(A^*)=0.$

Chứng minh xem bài giảng tại đây:https://onip.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html

4. Dạng toán chứng minh về hạng của ma trận

Ta áp dụng các tính chất về hạng của ma trận sau đây:

$r(A)=r(A");$$r(A+B)le r(A)+r(B)$ với $A,B$ là nhì ma trận thuộc cấp;$r(AB)le r(A);r(AB)le r(B)$ với $A,B$ là nhì ma trận bất kì thế nào cho $AB$ tồn tại;$r(A)+r(B)le r(AB)+n$ cùng với $A,B$ là nhị ma trận vuông thuộc cấp.

Ví dụ 1: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ bằng lòng $A^2=E.$ minh chứng rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma trện có:

$eginarrayl r(E - A) + r(E + A) ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\ r(E - A) + r(E + A) le r((E - A)(E + A)) + n = r(E^2 - A^2) + n = r(O) + n = n endarray$

Vậy $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Ví dụ 2: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ gồm $a_ij=0,forall i=j;a_ijin left 1,2019 ight,forall i e j.$ chứng tỏ rằng $r(A)ge n-1.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=1,forall i,j=1,2,..,n$ lúc ấy $C=A-B=(a_ij-b_ij)_n imes n=(c_ij)_n imes n$ với

Do đó $det (C)-(-1)^n$ phân tách hết cho 2018, tức $det (C) e 0Rightarrow r(C)=n.$

Mặt không giống $C=A-BRightarrow r(C)=r(A-B)le r(A)+r(-B)=r(A)+1Rightarrow r(A)ge n-1.$

Ví dụ 3: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ gồm $a_ij=i+j,forall i,j=1,2,...,n.$ kiếm tìm hạng của ma trận $A.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=i,forall i=1,2,...,n;C=(c_ij)_n imes n,c_ij=j,forall j=1,2,...,n.$

Ta gồm $r(B)=r(C)=1$ với $A=B+CRightarrow r(A)=r(B+C)le r(B)+r(C)=2.$

Mặt không giống $D_12^12 = left| eginarray*20c 2&3\ 3&4 endarray ight| = - 1 e 0 Rightarrow r(A) ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$

Hiện tại onip.vn kiến tạo 2 khoá học Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 giành riêng cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành kinh tế tài chính của tất cả các trường:

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và kỹ năng và phương thức giải bài xích tập các dạng toán đi kèm theo mỗi bài học. Khối hệ thống bài tập tập luyện dạng tự luận có lời giải cụ thể tại website để giúp đỡ học viên học cấp tốc và vận dụng chắc chắn là kiến thức. Mục tiêu của khoá học góp học viên được điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán thời thượng 2 trong số trường khiếp tế.

Xem thêm: Quá Trình Xâm Lược Của Chủ Nghĩa Thực Dân Vào Các Nước Đông Nam Á

Sinh viên những trường ĐH sau đây hoàn toàn có thể học được full bộ này:

- ĐH kinh tế Quốc Dân

- ĐH ngoại Thương

- ĐH yêu thương Mại

- học viện chuyên nghành Tài Chính

- học viện chuyên nghành ngân hàng

- ĐH tài chính ĐH non sông Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của những trường ĐH khác trên khắp cả nước...