Hình Chiếu Vuông Góc Của Điểm Lên Đường Thẳng

     

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm phát xuất thẳng là 1 dạng toán được sự quan tâm của đa số bạn. Đồng thời cũng là một trong những dạng toán được vận dụng khá nhiều trong quá trình viết phương trình đường thẳng. Để làm được bài toán dạng này bây giờ thầy xin share cùng các bạn một số cách thức làm như sau:

*

Phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

Bài toán: khẳng định hình chiếu $H$ của điểm $M$ trên đường thẳng $d$.

Bạn đang xem: Hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

Cách 1:

Bước 1: Lập phương trình mặt đường thẳng $d’$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$. Khi đó $d’$ thỏa mãn: trải qua điểm $M$ đã biết với nhận VTPT của $d$ làm cho VTCP mang lại mình.

Bước 2: search giao của mặt đường thẳng $d$ và con đường thẳng $d’$. Giao điểm đó chính là tọa độ của hình chiếu $H$.

Cách 2:

Giả sử con đường thẳng $d$ cho dưới dạng tổng quát: $Ax+By+C=0$. Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: điện thoại tư vấn tọa độ điểm $H$ là: $H(x_H;y_H)$ với tìm vectơ chỉ phương của $d$ là $vecu_d$;

Bước 2: Tính $vecMH$

Bước 3: Vectơ $vecMH ot vecu_d Leftrightarrow vecMH.vecu_d=0$ (1)

Bước 4: do $Hin d Rightarrow Ax_H + By_H + C=0$ (2)

Bước 5: từ bỏ (1) với (2) ta gồm hệ. Giải hệ này tìm được tọa độ của $H$.

Xem thêm: Bài Văn Tả Một Người Bạn Thân Của Em Lớp 5 (Hay Nhất), Tả Người Bạn Thân Lớp 5 Siêu Hay (50 Mẫu)

Cách 3:

Giả sử đường thẳng $d$ cho dưới dạng tham số: $left{eginarraylx=x_0+at\y=y_0+btendarray ight.$ $tin R$

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: call $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên đường thẳng $d$. Lúc đó $Hin d$. Cho nên vì thế tọa độ của điểm $H(x_0+at;y_0+bt)$. Suy ra tọa độ của $vecMH$

Bước 2: do $MHot d Leftrightarrow vecMH ot vecu_dLeftrightarrow vecMH.vecu_d=0$. Từ phía trên ta sẽ kiếm được $t$ với tọa độ của điểm $H$.

Chú ý:

1. Trường hợp điểm $M(x_0;y_0)$, khi đó tọa độ hình chiếu $H$ của $M$ trên:

Ox sẽ có tọa độ là $H(x_0;0)$Oy sẽ có tọa độ là $H(0;y_0)$

2. Giả dụ điểm $M otin d$ mà bài toán yêu cầu: “Tìm tọa độ điểm $Hin d$ làm sao cho $MH$ ngắn tốt nhất thì tương tự với việc tìm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ bên trên $d$.

Xem thêm: Top 10 Bài Văn Chứng Minh Nói Dối Có Hại Cho Bản Thân, Chứng Minh Nói Dối Có Hại Cho Bản Thân

Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện mang đến trước

Tìm tọa độ 3 đỉnh biết tọa độ chân đường cao của tam giác

Bài tập áp dụng

Bài tập 1:

Cho điểm $M(3;-1)$ và mặt đường thẳng $d$ bao gồm phương trình: $3x-4y+12=0$. Tra cứu tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $M$ xuất xứ thẳng $d$. Từ đó suy ra tọa độ của điểm $M_1$ là điểm đối xứng cùng với $M$ qua mặt đường thẳng $d$.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: 

Bước 1: Viết phương trình mặt đường thẳng $d’$ qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$:

Vì $d’ ot d$ nên phương trình con đường thẳng $d’$ tất cả dạng: $4x+3y+C=0$

Vì điểm $M(3;-1) in d’$ đề nghị tọa độ của điểm $M$ thỏa mãn:

$4.3+3.(-1)+C=0 Leftrightarrow C=-9$

Vậy phương trình con đường thẳng $d’$ là: $4x=3y-9=0$

Bước 2: tìm kiếm tọa độ điểm $H$ là giao điểm của $d$ với $d’$ với là nghiệm của hệ sau:

$left{eginarrayl3x-4y+12=0\4x+3y-9=0endarray ight.Leftrightarrow left{eginarraylx=0\y=3endarray ight.$

Vậy tọa độ hình chiếu $H$ là: $H(0;3)$

Bước 3: search tọa độ điểm $M_1$ là vấn đề đối xứng của điểm $M$ qua $d$

Vì $M_1$ là điểm đối xứng của điểm $M$ qua đường thẳng $d$ cần $H$ vẫn là trung điểm của $MM_1$. Hotline tọa độ của điểm $M_1(x_M_1;y_M_1)$, theo biểu thức tọa độ tương quan tới trung điểm ta có:

$left{eginarraylx_M+x_M_1=2x_H\y_M+y_M_1=2y_Hendarray ight.Leftrightarrowleft{eginarrayl3+x_M_1=2.0\-1+y_M_1=2.3endarray ight.Leftrightarrowleft{eginarraylx_M_1=-3\y_M_1=7endarray ight.$

Vậy tọa độ của điểm $M_1$ là: $M_1(-3;7)$

Cách 2:

Bước 1:

Giả sử $H(a;b) Rightarrow vecMH(a-3;b+1)$

$vecu(4;3)$ là vectơ chỉ phương của $d$

Vì $MHot d$ đề xuất ta có: $vecMHot vecuLeftrightarrow vecMH.vecu=0Leftrightarrow 4(a-3)+3(b+1)=0Leftrightarrow 4a+3b-9=0$ (1)

Bước 2:

Vì điểm $H(a;b) in d$ yêu cầu ta có: $3a-4b+12=0$ (2)

Bước 3:

Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ tạo vì chưng (1) cùng (2), ta có:

$left{eginarrayl 4a+3b-9=0\3a-4b+12=0endarray ight.Leftrightarrowleft{eginarrayl a=0\b=3endarray ight.$

Vậy tọa độ của điểm $H$ là: $H(0;3)$

Cách 3: 

Bước 1: đưa $d$ về phương trình tham số

Lấy 1 điểm bất kì thuộc $d$ là: $A(0;3)$Vectơ chỉ phương của $d$ là: $vecu(4;3)$Phương trình thông số của $d$ là:$left{eginarraylx=4t\y=3+3tendarray ight.$ $tin R$

Bước 2:

Vì điểm $Hin d$ phải ta tất cả tọa độ của $H$ là: $H(4t;3+3t)Leftrightarrow vecMH(4t-3;3t+4)$

Vectơ chỉ phương của $d$ là: $vecu(4;3)$

Vì $MHot d Leftrightarrow vecMH.vecu=0Leftrightarrow 4(4t-3)+3(3t+4)=0Leftrightarrow t=0$